Question

【題目】已知函數f（x）=2x+2﹣x ，
（1）判斷函數的奇偶性；
（2）用函數單調性定義證明：f（x）在（0，+∞）上為單調增函數；
（3）若f（x）=52﹣x+3，求x的值．

Answer 1

【答案】
（1）解：f（x）=2x+2﹣x的定義域為R，關于原點對稱；

又f（﹣x）=2﹣x+2x=f（x），

∴f（x）為偶函數．

（2）證明：設x1，x2是（0，+∞）任意的兩個數且x1＜x2，

則

=

= ，

∵0＜x1＜x2，y=2x是增函數，

∴ ；

∴ ；

∴f（x1）﹣f（x2）＜0，

即f（x1）＜f（x2），

∴f（x）在（0，+∞）上是單調增函數

（3）解：由題意可知，2x+2﹣x=52﹣x+3

令2x=t，（t＞0），則 ．

解得t=﹣1（舍去）或者t=4．

即2x=4，

∴x=2．

【解析】（1）先求f（x）的定義域，再判斷f（﹣x）與f（x）的關系即可；（2）先設x1 ， x2是（0，+∞）任意的兩個數且x1＜x2 ， 從而作差化簡 = ，從而判號即可；（3）由題意可知，2x+2﹣x=52﹣x+3，利用換元法令2x=t，（t＞0），從而得到 ，從而解出t，再求x．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解函數單調性的判斷方法的相關知識，掌握單調性的判定法：①設x1,x2是所研究區間內任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大小；③作差比較或作商比較，以及對函數的奇偶性的理解，了解偶函數的圖象關于y軸對稱；奇函數的圖象關于原點對稱．