Question

已知不等式|x+2|-|x-3|＞m，分別求滿足下列條件m的范圍：
（1）若不等式有解；
（2）若不等式解集為R；
（3）若不等式解集為∅．

Answer 1

分析：由絕對值的意義可得|x+2|-|x-3|的最大值為5，最小值為-5，由此求得不等式有解、不等式解集為R、不等式解集為∅時，m的范圍．

解答：解：由于|x+2|-|x-3|表示數軸上的x對應點到-2的距離減去它到3對應點的距離，
故它的最大值為5，最小值為-5，
（1）∵不等式|x+2|-|x-3|＞m 有解，∴5＞m，即m的范圍為（-∞，5）．
（2）若不等式|x+2|-|x-3|＞m 解集為R，則有-5＞m，即m的范圍為（5，+∞）．
（3）若不等式|x+2|-|x-3|＞m 的解集為∅，則有m≥5，即m的范圍為[5，+∞）．

點評：本題主要考查絕對值的意義，函數的恒成立問題、函數的能成立問題，屬于中檔題．