Question

如圖，在四棱錐E-ABCD中，底面ABCD為正方形，AE⊥平面CDE，已知AE=DE=3，F(xiàn)為線段DE上的動點．
（Ⅰ）若F為DE的中點，求證：BE∥平面ACF；
（Ⅱ）若二面角E-BC-F與二面角F-BC-D的大小相等，求DF長．

Answer 1

分析：（I）連接AC，BD交于O，連OF，利用三角形的中位線平行于底邊得到OF∥BE，利用直線與平面平行的判定定理得證．
（II）法一：利用二面角的平面角的定義，通過作輔助線，利用線面垂直的判定定理及線面垂直的性質(zhì)找出二面角E-BC-D的平面角與二面角F-BC-D的平面角，利用已知條件得到線段的長度關(guān)系．
法二：通過建立空間直角坐標(biāo)系，求出兩個面的法向量，利用向量的數(shù)量積公式求出二面角E-BC-F的余弦值，同理求出二面角D-BC-F的余弦值，根據(jù)已知它們的絕對值相等，列出方程求出DF的長度．

解答：證明：（Ⅰ）連接AC，BD交于O，連OF，如圖1
∵F為DE中點，O為BD中點，
∴OF∥BE，OF?平面ACF，BE?平面ACF，
∴BE∥平面ACF．…（6分）
（Ⅱ）如圖2，過E作EH⊥AD于H，過H作MH⊥BC
于M，連接ME，同理過F作FG⊥AD于G，過G作NG⊥BC于N，連接NF，
∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，
∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，EH?平面DAE，
∴CD⊥EH，CD∩AD=D，CD，AD?平面ABCD，EH⊥平面ABCD，
∴HE⊥BC，
∴BC⊥平面MHE，
∴∠HME為二面角E-BC-D的平面角，
同理，∠GNF為二面角F-BC-D的平面角，
∵MH∥AB，
∴MH=3

2

，
又HE=

3 2

2

，
∴tan∠HME=

1

2

，而∠HME=2∠GNF，
∴tan∠GNF=

5

-2，
∴

GF

GN

=

5

-2，GF=3

10

-6

2

，
又GF∥HE，
∴

DF

DE

=

GF

EH

，
∴DF=6

5

-12．…（15分）
解法二：
（Ⅱ）∵AE⊥平面CDE，CD?平面CDE，∴AE⊥CD，
∵CD⊥AD，AE∩AD=A，AD，AE?平面DAE，
∴CD⊥平面DAE，如圖建立坐標(biāo)系，
則E（3，0，0），F(xiàn)（a，0，0），C(0，3

2

，0)，A（3，0，3），D（0，0，0）
由

DC

=

AB

得B(3，3

2

，3)，設(shè)

n1

⊥平面ABCD，
且

n1

=(x，y，z)，
由

n1 • DC =0 n1 • DA =0

⇒

y=0 x+z=0

⇒

n1

=(1，0，-1)
設(shè)

n2

⊥平面BCF，且

n2

=(x，y，z)，
由

n2 • BC =0 n2 • CF =0

⇒

x+z=0 ax-3 2 y=0

⇒

n2

=(3

2

，a，-3

2

)
設(shè)

n3

⊥平面BCE，且

n3

=(x，y，z)，
由

n3 • BC =0 n3 • CE =0

⇒

x+z=0 x- 2 y=0

⇒

n2

=(

2

，1，-

2

)
設(shè)二面角E-BC-F的大小為α，二面角D-BC-F的大小為β，α=β，|cos＜

n1

，

n2

＞|=|cos＜

n3

，

n2

＞|，
∴

| n1 • n2 |

| n1 |•| n2 |

=

| n3 • n2 |

| n3 |•| n2 |

⇒6=

|12+a|

5

⇒a=-12±6

5

，
∵0＜a＜3，∴a=6

5

-12．…（15分）

點評：主要考查了空間直線與平面的位置關(guān)系和二面角等基礎(chǔ)知識，同時考查了空間想象能力、推理論證能力和運算求解能力．
在高考中以解答題的形式出現(xiàn)，常用的工具是空間向量．