Question

已知直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2（m，a∈R）交于A、B兩點．
（1）當m=0時，有∠AOB=

π

3

，求曲線P的方程；
（2）是否存在常數M，使得對于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立？如果存在，求出的M得最小值；如果不存在，說明理由．

Answer 1

分析：（1）直線方程為y=1，代入曲線C：ax²+y²=2求得A，B的坐標，利用∠AOB=

π

3

可求曲線的方程；
（2）將直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2聯立，化簡得（a+m²）x²+2mx-1=0，假設點A，B的坐標，利用

OA

=

m2-1

m2+a

+1，求得對于任意的a∈（0，1），m∈R，它的最大值小于2，故取M的值大于2時，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，故存在常數M，使得對于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立且M得最小值為：2．

解答：解：（1）由題意，直線方程為y=1，代入曲線C：ax²+y²=2可得 A（-

1 a

，1），B（

1 a

，1），
∵∠AOB=

π

3

，∴tan

π

6

=

1 a

，∴a=3
∴曲線C的方程為3x²+y²=2．
（2）將直線l：y=mx+1與曲線C：ax²+y²=2聯立，化簡得（a+m²）x²+2mx-1=0
設A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），則知 x1+x2=-

2m

m2+a

，x₁x₂=-

1

m2+a

，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=

-1

m2+a

+(mx1+1)(mx2+1)=

m2-1

m2+a

+1=2+

1-a

m2+a

，
對于任意的a∈（0，1），m∈R，

OA

•

OB

的最大值小于2．
∴取M大于等于2時，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，
故存在M，使得對于任意的a∈（0，1），m∈R，都有

OA

•

OB

＜M恒成立，且M的最小值為2．

點評：本題考查直線與圓錐曲線的綜合問題，解題的關鍵是結合韋達定理，利用函數思想分析求解．