Question

已知定點A（4，

7

），若動點P在拋物線y²=4x上，且點P在y軸上的射影為點M，則|PA|-|PM|的最大值是

 

．

Answer 1

分析：可得拋物線的焦點和準線，進而由拋物線的定義可得|PA|-|PM|=|PA|-|PF|+1，由三角形的知識可得|PA|-|PF|≤|AF|，求距離可得答案．

解答：解：由題意拋物線y²=4x的焦點F（1，0），準線x=-1，
過P做PQ垂直準線于點Q，則|PM|=|PQ|-1
又由拋物線的性質知：|PQ|=|PF|
∴|PM|=|PF|-1
∴|PA|-|PM|=|PA|-|PF|+1
只要使|PA|-|PF|取最大值即可
又∵|PA|-|PF|≤|AF|=4，
當P在AF的延長線與拋物線交點處即可，
∴|PA|-|PM|的最大值=|AF|+1=5
故答案為：5

點評：本題考查拋物線的定義，利用拋物線的定義把距離轉化是解決問題的關鍵，屬中檔題．