Question

【題目】已知函數(shù)f（x）= 是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，且f（1）=1．
（1）求函數(shù)f（x）的解析式；
（2）判斷并證明f（x）在（﹣1，1）上的單調(diào)性．

Answer 1

【答案】
（1）解：∵函數(shù)f（x）= 是定義在（﹣1，1）上的奇函數(shù)，

∴f（0）=0，

又∵f（1）=1．

∴ ，

解得： ，

∴函數(shù)f（x）=

（2）解：f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增，理由如下：

∵f′（x）= ，

當x∈（﹣1，1）時，f′（x）≥0恒成立，

故f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增

【解析】（1）根據(jù)奇函數(shù)的特性，可得f（0）=0，結(jié)合f（1）=1，構(gòu)造方程組，解得函數(shù)f（x）的解析式；（2）利用導數(shù)法，可證得f（x）在（﹣1，1）上單調(diào)遞增．
【考點精析】本題主要考查了函數(shù)單調(diào)性的判斷方法和利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性的相關(guān)知識點，需要掌握單調(diào)性的判定法：①設(shè)x1,x2是所研究區(qū)間內(nèi)任兩個自變量，且x1＜x2；②判定f(x1)與f(x2)的大��；③作差比較或作商比較；一般的,函數(shù)的單調(diào)性與其導數(shù)的正負有如下關(guān)系： 在某個區(qū)間內(nèi)，(1)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞增；(2)如果，那么函數(shù)在這個區(qū)間單調(diào)遞減才能正確解答此題．