Question

已知圓E經過定點A（-2，0），B（8，0），C（0，4）．
（I）求圓E的方程；
（II）若斜率為2的直線l與圓E相交于M，N兩點，且|MN|=4

5

，求直線l的方程．

Answer 1

分析：（I）設圓E的方程為 （x-a）²+（y-b）²=r² （r＞0），再把A、B、C的坐標分別代入，解方程組求得 abc的值，即可求得圓E的方程．
（II）若斜率為2的直線l的方程為 y=2x+m，即 2x-y+m=0，由弦長公式求得圓心（3，0）到直線l的距離d=

5

．再由點到直線的距離公式可得

|2×3-0+m|

4+1

=

5

，解得 m 的值，即可求得直線l的方程．

解答：解：（I）設圓E的方程為 （x-a）²+（y-b）²=r² （r＞0），
再由圓E經過定點A（-2，0），B（8，0），C（0，4），可得

(-2-a)2+(0-b)2=r2 (8-a)2+(0-b)2=r2 (0-a)2+(4-b)2=r2

．
解得

a=3 b=0 r=5

，
∴圓E的方程為 （x-3）²+y²=25．
（II）若斜率為2的直線l的方程為 y=2x+m，即 2x-y+m=0，
由弦長|MN|=4

5

，可得圓心（3，0）到直線l的距離d=

r2-( MN 2 )2

=

5

．
再由點到直線的距離公式可得

|2×3-0+m|

4+1

=

5

，解得 m=-1，或 m=-11，
故直線l的方程為 2x-y-1=0，或 2x-y-11=0．

點評：本題主要考查利用待定系數法求圓的方程，直線和圓相交的性質，點到直線的距離公式、弦長公式的應用，屬于中檔題．