Question

設函數f(x)的定義域為R，對任意數a、b有f(a)+f(b)=,且

（1）求證：f(-x)=f(x)=-f(p-x)

（2）若0£x£時，f(x)>0，求證：f(x)在[0，p]上單調遞減；

（3）求f(x)的最小周期并加以證明．

Answer 1

答案：
解析：

（1）證明：∵ ∴ f(0)=1 又f(x)+ f(-x)=2f(0)f(x)，∴ f(x)=f(-x) ∵ f(x)+f(p-x)= ∴ f(x)=f(-x)=-f(p-x) （2）證明：f(-x)=f(x)且0£x<時，f(x)>0    ∴ 當時，f(x)>0 設0£x1£x2£x，則f(x1)-f(x2)=f(x1)+f(p-x2)=， ∵ ∴ ∴ f(x1)>f(x2)，即f(x)在[0，p ]上單調遞減； （3）解：由（1）f(-x)=-f(p-x)得f(x)=-f(p+x)，f(p+x)=-f(2p+x) ∴ f(2p+x)=f(x)，說明2p是原函數的一個周期． 假設T0也是原函數的一個周期，且T0Î(0，2p)，則由f(T0+x)=f(x)得f(0)=f(T0) 但若T0Î(0，p]時，因原函數是單調遞減函數，所以f(0)>f(T0)，兩者矛盾； 若T0Î(p，2p]時，2p-T0Î(0，p)，從而f(0)>f(2p-T0)=f(-T0)=f(T0)，兩者矛盾，所以T0不是原函數的一個周期，即2p是原函數的最小正周期．