【題目】(本小題滿分14分)
已知,
為橢圓
的左、右頂點,
為其右焦點,
是橢圓
上異于
,
的動點,且
面積的最大值為
.
(Ⅰ)求橢圓的方程及離心率;
(Ⅱ)直線與橢圓在點
處的切線交于點
,當直線
繞點
轉動時,試判斷以
為直徑的圓與直線的位置關系,并加以證明.
【答案】解:(Ⅰ)由題意可設橢圓的方程為
,
.
由題意知解得
,
.
故橢圓的方程為
,離心率為
.……6分
(Ⅱ)以為直徑的圓與直線
相切.
證明如下:由題意可設直線的方程為
.
則點坐標為
,
中點
的坐標為
.
由得
.
設點的坐標為
,則
.
所以,
.……………………………10分
因為點坐標為
,
當時,點
的坐標為
,點
的坐標為
.
直線軸,此時以
為直徑的圓
與直線
相切.
當時,則直線
的斜率
.
所以直線的方程為
.
點到直線
的距離
.
又因為,所以
.
故以為直徑的圓與直線
相切.
綜上得,當直線繞點
轉動時,以
為直徑的圓與直線
相切.………14分
【解析】試題分析:(Ⅰ)根據橢圓的特征可得當點在點
時,
面積最大,即可列
,由題目條件知
,結合
,進而求得橢圓
的方程及離心率;
(Ⅱ)設,由題意可設直線
的方程為
,可得點
與
中點
的坐標,聯立直線與橢圓的方程得
,進而表示出點
的坐標,結合點
,再寫出直線
的方程,根據點
到直線
的距離等于直徑
的一半,進而解得此問.
試題解析:(Ⅰ)由題意可設橢圓的方程為
,
.
由題意知解得
,
.
故橢圓的方程為
,離心率為
.
(Ⅱ)以為直徑的圓與直線
相切.
證明如下:由題意可設直線的方程為
.
則點坐標為
,
中點
的坐標為
.
由得
.
設點的坐標為
,則
.
所以,
.
因為點坐標為
,
當時,點
的坐標為
,點
的坐標為
.
直線軸,此時以
為直徑的圓
與直線
相切.
當時,則直線
的斜率
.
所以直線的方程為
.
點到直線
的距離
.
又因為,所以
.
故以為直徑的圓與直線
相切.
綜上得,當直線繞點
轉動時,以
為直徑的圓與直線
相切.
科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】在直角坐標系中,以原點為極點,x軸的正半軸為極軸建立極坐標系,已知曲線C:(a>0),過點P(-2,-4)的直線l的參數方程為
(t為參數),l與C分別交于M,N.
(1)寫出C的平面直角坐標系方程和l的普通方程;
(2)若|PM|,|MN|,|PN|成等比數列,求a的值.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】近年來,鄭州經濟快速發展,躋身新一線城市行列,備受全國矚目.無論是市內的井字形快速交通網,還是輻射全國的米字形高鐵路網,鄭州的交通優勢在同級別的城市內無能出其右.為了調查鄭州市民對出行的滿意程度,研究人員隨機抽取了1000名市民進行調查,并將滿意程度以分數的形式統計成如下的頻率分布直方圖,其中.
(1)求的值;
(2)若按照分層抽樣從[50,60),[60,70)中隨機抽取8人,再從這8人中隨機抽取2人,求至少有1人的分數在[50,60)的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】已知某中學高三文科班學生共有800人參加數學與地理的學業水平測試,從中隨機抽取100人的數學與地理的學業水平測試成績如下表:
人數 | 數學 | |||
優秀 | 良好 | 及格 | ||
地理 | 優秀 | 7 | 20 | 5 |
良好 | 9 | 18 | 6 | |
及格 | a | 4 | b |
成績分為優秀、良好、及格三個等級,橫向、縱向分別表示地理成績與數學成績例如:表示數學成績為良好的共有20+18+4=42(人).
(Ⅰ)若在該樣本中,數學成績優秀率為30%,求a,b的值;
(Ⅱ)已知a≥10,b≥8,利用樣本數據,求數學成績為優秀的人數比及格的人數少的概率.
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科目:高中數學 來源: 題型:
【題目】新高考最大的特點就是取消文理分科,除語文、數學、外語之外,從物理、化學、生物、政治、歷史、地理這6科中自由選擇三門科目作為選考科目.某研究機構為了了解學生對全文(選擇政治、歷史、地理)的選擇是否與性別有關,從某學校高一年級的1000名學生中隨機抽取男生,女生各25人進行模擬選科.經統計,選擇全文的人數比不選全文的人數少10人.
(1)估計在男生中,選擇全文的概率.
(2)請完成下面的列聯表;并估計有多大把握認為選擇全文與性別有關,并說明理由;
選擇全文 | 不選擇全文 | 合計 | |
男生 | 5 | ||
女生 | |||
合計 |
附:,其中
.
P( | 0.15 | 0.10 | 0.05 | 0.025 | 0.010 | 0.005 | 0.001 |
k | 2.072 | 2.076 | 3.841 | 5.024 | 6.635 | 7.879 | 10.828 |
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