Question

如圖，在長方體ABCD-A₁B₁C₁D₁中，AD=AA₁=1，AB=2，點E在棱AB上移動．
（1）證明：BC₁∥平面ACD₁；
（2）證明：A₁D⊥D₁E；
（3）當E為AB的中點時，求四棱錐E-ACD₁的體積．

Answer 1

解：（1）證明：∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是長方體，∴AB∥D₁C₁，AB=D₁C₁，
∴AB C₁ D₁為平行四邊形，∴B C₁∥AD₁，
又∵BC₁?平面ACD₁，AD₁?平面ACD₁，
∴BC₁∥平面ACD₁．
（2）證明：∵AE⊥平面AA₁D₁D，A₁D?平面AA₁D₁D，
∴A₁D⊥AE．
∵四邊形AA₁D₁D為正方形，∴A₁D⊥A D₁，
又AD₁∩AE=A，∴A₁D⊥平面AD₁E，
∵D₁E?平面AD₁E，∴A₁D⊥D₁E．
（3）解：∵S_△ACE===．
∴===．
所以三棱錐E-ACD₁的體積．
分析：（1）利用線面平行的判定定理即可證明；
（2）利用線面垂直的性質定理和判定定理即可證明；
（3）利用=即可求出．
點評：熟練掌握線面平行的判定定理、線面垂直的判定定理和性質定理及等積變形是解題的關鍵．