Question

半徑為4的球面上有A、B、C、D四點，且AB、AC、AD兩兩互相垂直，則△ABC，△ACD，△ADB面積之和的最大值是

32

．

Answer 1

分析：視AB，AC，AD為球的內接長方體的一個角，長方體的對角線即為球的直徑，設它們的長分別為：a，b，c．故a²+b²+c²=64，計算三個三角形的面積之和，利用基本不等式求最大值．

解答：解：根據題意可知，設AB=a，AC=b，AD=c，
則可知AB，AC，AD為球的內接長方體的一個角．
設它們的長分別為：a，b，c．故a²+b²+c²=64，
而 S△ABC+S△ACD+S△ADB=

1

2

(ab+ac+bc)
≤

a2+b2+a2+c2+b2+c2

4

=

a2+b2+c2

2

=32．
則△ABC，△ACD，△ADB面積之和的最大值是32
故答案為：32．

點評：本題考查了球內接多面體、利用基本不等式求最值問題，考查了同學們綜合解決交匯性問題的能力，解答關鍵是利用構造法求球的直徑得到a²+b²+c²=64．