Question

半徑為4的球面上有A、B、C、D四個點，且滿足

AB

?

AC

=0，

AC

?

AD

=0，

AD

?

AB

=0，則S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB的最大值為（　　）

• A、64
• B、32
• C、16
• D、8

Answer 1

分析：由半徑為4的球面上有A、B、C、D四個點，且滿足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AD

•

AB

=0，可得AB⊥AC，
AC⊥AD，AD⊥AB，且以AB，AC，AD為鄰邊的長方體內接于此球．設AB=a，AC=b，AD=c，則a²+b²+c²=（2R）²=64．S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

ac，利用ab+bc+ac≤a²+b²+c²即可得出．

解答：解：∵半徑為4的球面上有A、B、C、D四個點，且滿足

AB

•

AC

=0，

AC

•

AD

=0，

AD

•

AB

=0，
∴AB⊥AC，AC⊥AD，AD⊥AB，且以AB，AC，AD為鄰邊的長方體內接于此球．
設AB=a，AC=b，AD=c，則a²+b²+c²=（2R）²=64．
S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB=

1

2

ab+

1

2

bc+

1

2

ac=

1

2

(ab+bc+ac)≤

1

2

(a2+b2+c2)=32，
當且僅當a=b=c時，S_△ABC+S_△ACD+S_△ADB取得最大值32．
故選：32．

點評：本題考查了內接于球的長方體的性質、向量垂直與數量積的關系、不等式ab+bc+ac≤a²+b²+c²、三角形的面積計算公式等基礎知識與基本技能方法，屬于中檔題．