Question

如果函數y=f（x）圖象上任意一點的坐標（x，y）都滿足方程 lg（x+y）=lgx+lgy，那么正確的選項是（ ）
A．y=f（x）是區間（0，+∞）上的減函數，且x+y≤4
B．y=f（x）是區間（1，+∞）上的增函數，且x+y≥4
C．y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，且x+y≥4
D．y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，且x+y≤4

Answer 1

【答案】分析：由給出的方程得到函數y=f（x）圖象上任意一點的橫縱坐標x，y的關系式，利用基本不等式求出x+y的范圍，利用函數單調性的定義證明函數在（1，+∞）上的增減性，二者結合可得正確答案．
解答：解：由lg（x+y）=lgx+lgy，得，
由x+y=xy得：，
解得：x+y≥4．
再由x+y=xy得：（x≠1）．
設x₁＞x₂＞1，
則=．
因為x₁＞x₂＞1，
所以x₂-x₁0，x₂-1＞0．
則，即f（x₁）＜f（x₂）．
所以y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，
綜上，y=f（x）是區間（1，+∞）上的減函數，且x+y≥4．
故選C．
點評：本題考查了函數單調性的判斷與證明，考查了利用基本不等式求最值，訓練了利用單調性定義證明函數單調性的方法，是基礎題．