Question

證明：如果函數(shù)y=f（x）在點x₀處可導(dǎo)，那么函數(shù)y=f（x）在點x₀處連續(xù)．

Answer 1

分析：要證明f（x）在點x₀處連續(xù)，就必須證明x→x₀時，f（x）的極限值為f（x₀），由f（x）在點x₀處可導(dǎo)，根據(jù)函數(shù)在點x₀處可導(dǎo)的定義，逐步進(jìn)行兩個轉(zhuǎn)化，一個是趨向的轉(zhuǎn)化，一個是形式（變成導(dǎo)數(shù)定義的形式）的轉(zhuǎn)化．

解答：證明：設(shè)x=x₀+△x，則當(dāng)x→x₀時，△x→0
則

lim

x→x0

f（x）=

lim

△x→0

f（x₀+△x）=

lim

△x→0

[f（x₀+△x）-f（x₀）+f（x₀）]=

lim

△x→0

[

f(x0+△x)-f(x0)

△x

•△x+f（x₀）]
=

lim

△x→0

f(x0+△x)

△x

•

lim

△x→0

△x+

lim

△x→0

f（x₀）=f′（x₀）•0+f（x₀）=f（x₀）
∴函數(shù)f（x）在點x₀處連續(xù)．

點評：此題考查學(xué)生掌握函數(shù)連續(xù)的定義，靈活運(yùn)用導(dǎo)數(shù)的定義．解題時要正確理解函數(shù)的連續(xù)性．