Question

設點P是曲線f（x）=x³-x+

2

3

上的任意一點，P點處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是（　　）

• A．[

  3

  4

  π，π）
• B．（

  π

  2

  ，

  5

  6

  π]
• C．[0，

  π

  2

  )∪[

  5π

  6

  ，π)
• D．[0，

  π

  2

  )∪[

  3π

  4

  ，π)

Answer 1

分析：因為曲線的切線的斜率是傾斜角的正切值，所以要求點P處的傾斜角的取值范圍，只需求出點P處的斜率的取值范圍，而斜率又是切點處的導數，所以只要求出函數在切點處的導數的取值范圍即可．

解答：解：f（x）=x³-x+

2

3

的導數為f′（x）=3x²-1，
設P點坐標為（x₀，y₀），P點處的切線的斜率為k，
∵函數在P點處的切線斜率是函數在P點處的導數，
∴k=3x₀²-1，
∵x₀²≥0，∴3x₀²-1≥-1
∴k≥-1
又∵k=tanα，∴tanα≥-1
當tanα≥0時，α∈[0，

π

2

）
當-1≤tanα＜0時，α∈[

3π

4

，π）
∴α的取值范圍是[0，

π

2

）∪[

3π

4

，π）
故選D

點評：本題主要考查了函數的導數與函數的切線的斜率的關系，直線的斜率與傾斜角之間的關系，屬于綜合題．