Question

設點P是曲線f（x）=x³-x+上的任意一點，P點處切線的傾斜角為α，則角α的取值范圍是

1. A.
   [）
2. B.
   （，]
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：因為曲線的切線的斜率是傾斜角的正切值，所以要求點P處的傾斜角的取值范圍，只需求出點P處的斜率的取值范圍，而斜率又是切點處的導數，所以只要求出函數在切點處的導數的取值范圍即可．
解答：f（x）=x³-x+的導數為f′（x）=3x²-1，
設P點坐標為（x₀，y₀），P點處的切線的斜率為k，
∵函數在P點處的切線斜率是函數在P點處的導數，
∴k=3x₀²-1，
∵x₀²≥0，∴3x₀²-1≥-1
∴k≥-1
又∵k=tanα，∴tanα≥-1
當tanα≥0時，α∈[0，）
當-1≤tanα＜0時，α∈[，π）
∴α的取值范圍是[0，）∪[，π）
故選D
點評：本題主要考查了函數的導數與函數的切線的斜率的關系，直線的斜率與傾斜角之間的關系，屬于綜合題．