Question

本題12分）
已知函數.
(1)求的定義域；
(2)在函數的圖象上是否存在不同的兩點，使得過這兩點的直線平行于x軸；
(3)當，b滿足什么條件時，在上恒取正值.

Answer 1

(1) (0，＋∞).(2)函數y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸.
(3)當a≥b＋1時， f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.

試題分析：（1）由對數函數的真數大于零求解．
（2）當函數在定義域上單調時，則不存在，當函數在定義域上不單調時，則存在，所以要證明函數是否單調，可用定義法，也可用導數法研究．
（3）由“f（x）在（1，+∞）上恒取正值”則需函數的最小值非負即可，由（2）可知是增函數，所以只要f（1）≥0即可．
解　：(1)由a^x－b^x>0，
得()^x>1，且a>1>b>0，得>1，
所以x>0，即f(x)的定義域為(0，＋∞).
(2)任取x₁>x₂>0，a>1>b>0，則ax₁>ax₂>0，bx₁<bx₂，所以ax₁－bx₁>ax₂－bx₂>0，
即lg(a^x1－b^x1)>lg(a^x2－b^x2).  故f(x₁)>f(x₂).
所以f(x)在(0，＋∞)上為增函數.
假設函數y＝f(x)的圖象上存在不同的兩點A(x₁，y₁)、B(x₂，y₂)，使直線平行于x軸，        則x₁≠x₂，y₁＝y₂，這與f(x)是增函數矛盾.
故函數y＝f(x)的圖象上不存在不同的兩點使過兩點的直線平行于x軸.
(3)因為f(x)是增函數，
所以當x∈(1，＋∞)時，f(x)>f(1).  這樣只需f(1)＝lg(a－b)≥0，
即當a≥b＋1時，   f(x)在(1，＋∞)上恒取正值.
點評：解決該試題的關鍵是利用導數的幾何意義來表示切線的斜率，同時能利用對數的真數大于零得到定義域進而研究其性質。