Question

【題目】已知，，其中實數.

(1)求的最大值；

(2)若對于任意實數恒成立，求實數的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）1；（2）.

【解析】

（1）先求出，根據和的解集確定的單調區間即可得解；

（2）根據時成立得出，圍繞討論并證明此時恒成立即可.

（1）定義域，

，

令，得.

當時，，單調遞增.

當時，，單調遞減.

∴當時，.

（2）∵對于任意實數恒成立，

∴，

當時，可得，下面圍繞展開討論：

由，

可得恒成立，

設，則，

因此轉化為，

即為，

①當時，∵單調遞減，，

∴為恒成立；

②當時，由于單調遞增，

因此，

因此只需證明，

即證，

構造函數，，

則，且，

(i)當時，，

則

，

此時發現的一個根為，那么繼續分解可得，

∴函數在上單減，恒成立，

(ii)當時，

，

∴在上單增，恒成立.

綜上所述，.