Question

如圖，ABCD、CDEF是兩個邊長都為的正方形，且平面ABCD⊥平面CDEF，M、N分別是AB、AC的中點，H是DE上的一個動點。

(Ⅰ)求證：HN⊥AC；

(Ⅱ)當EH＝HD時，在AD上確定一點P，使得HP∥平面EMC.

 

Answer 1

解析： (Ⅰ)證明：連接BD、BE，

由ABCD是正方形，得AC⊥BD…………①，且交于N，

因為平面ABCD⊥平面CDEF，交線為CD，ED⊥CD，故ED⊥平面ABCD，…………4分

所以ED⊥AC…………②，又ED∩BD＝D………③，

由①②③知，AC⊥平面BDE

HN平面BDE，故HN⊥AC　………………………………………………………………6分

(Ⅱ) EH＝HD時，H為DE的中點，取CD中點S，

連接HS、AH、AS，

則有HS∥EC、AS∥MC，又HS∩AS＝S，CE∩MC＝C，

故平面MCE∥平面ASH………………………10分

又AH平面ASH，所以AH∥平面MCE，

又A在AD上，故點A為符合條件的點，即P在A處. …12分