Question

已知函數處取得極值.

（I）求b的值；

（II）若當恒成立，求c的取值范圍；

20070331

 （III）對任意的是否恒成立？如果成立，給出證明，如果不成立，請說明理由.

Answer 1

解：（I）∵f(x)=x³－x²+bx+c，

∴f′(x)=3x²－x+b

∵f(x)在x=1處取得極值，

∴f′(1)=3－1+b=0.    ∴b=－2

（II）f(x)=x³－x²－2x+c.

∵f′(x)=3x²－x－2=(3x+2)(x－1)，

x	(－∞，－)	－	(－,1)	1	(1,+ ∞)
f′(x)	+	0	－	0	+
f(x)		+c		－+c

∴當時，函數f(x)單調遞增；

當x∈（－,1）時，函數f(x)單調遞減；

當x∈（1，2時，函數f(x)單調遞增.

∴當x=－時，f(x)有極大值+c

又

∴x∈[－1，2]時，f(x)最大值為f(2)=2+c.

∴c²>2+c.

∴c<－1或c>2

（III）對任意的恒成立.

由（II）可知，當x=1時，f(x)有極小值－+c.

又

∴x∈[－1，2]時，f(x)最小值為－+c.

，故結論成立