Question

設a>0，a≠1，解關于x的不等式

Answer 1

當0<a<1時，原不等式的解集為

  {x|－<x<－}∪{x|<x<}；

當a>1時，原不等式的解集為  {x|－∞<x<＋∞}．．

解析:

本小題考查指數函數性質、解不等式及綜合分析能力．滿分12分．

解法一  原不等式可寫成    ．               ①        ——1分

根據指數函數性質，分為兩種情形討論：

(Ⅰ)當0<a<1時，由①式得

x⁴－2x²+a²<0，                                     ②              ——3分

由于0<a<1時，判別式

△=4－4a²>0,

所以②式等價于

③ ④

                                                 ——5分

解③式得 x<－或x>，

解④式得 －<x<．                         ——7分

所以，0<a<1時，原不等式的解集為

{x|－<x<－}∪{x|<x<}．

                                                                 ——8分

(Ⅱ) 當a>1時，由①式得

x⁴－2x²＋a²>0，                               ⑤                  ——9分

由于a>1，判別式△<0，故⑤式對任意實數x成立，即得原不等式的解集為

{x|－∞<x<＋∞}．                                                ——12分

綜合得

當0<a<1時，原不等式的解集為

    {x|－<x<－}∪{x|<x<}；

當a>1時，原不等式的解集為

{x|－∞<x<＋∞}．

解法二  原不等式可寫成  ．     ①                   ——1分

(Ⅰ) 當0<a<1時，由①式得

x⁴－2x²＋a²<0，                              ②                   ——3分

分解因式得  (x²－1＋)(x²－1－)<0．  ③

④ ⑤

即                              

⑥⑦

或                                           ——5分

解由④、⑤組成的不等式組得

－<x<－．

或  <x<  ．                             ——7分

由⑥、⑦組成的不等式組解集為空集；所以，0<a<1時，原不等式的解集為

{x|－<x<－}∪{x|<x<}；

                                                                ——8分

(Ⅱ) 當a>1時，由①式得

x⁴－2x²＋a²>0，                           ⑧                     ——9分

配方得  (x²－1)²＋a²－1>0，                   ⑨

對任意實數x，不等式⑨都成立，即a>1時，原不等式的解集為

{x|－∞<x<＋∞}．                                               ——12分

綜合得

當0<a<1時，原不等式的解集為

  {x|－<x<－}∪{x|<x<}；

當a>1時，原不等式的解集為  {x|－∞<x<＋∞}．