Question

拋物線的頂點在原點，它的準線過橢圓

x2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的一個焦點F₁且垂直于橢圓的長軸，又拋物線 與橢圓的一個交點是M(

2

3

，

2 6

3

)，求拋物線與橢圓的標準方程．

Answer 1

分析：首先根據拋物線的準線過雙曲線的焦點，可得p=2c，再利用拋物線與橢圓同過交點(

2

3

，

2 6

3

)，求出c、p的值，進而結合橢圓的性質a²-b²=c²，求解即可．

解答：解：由題意可設 拋物線方程為y²=2px（p＞0）
∵點M(

2

3

，

2 6

3

)在拋物線上，∴p=2
拋物線的方程為y²=4x
∴F₁（-1，0），F₂（1，0），C=1
∴2a=MF1+MF2=4，a=2，b=

3

橢圓的方程為

x2

4

+

y2

3

=1

點評：本題考查了拋物線和橢圓的標準方程的求法：待定系數法，熟練掌握圓錐曲線的性質是解題的關鍵，同時考查了學生的基本運算能力與運算技巧．