Question

在實數R中定義一種運算“*”，具有下列性質：
（1）對任意a，b∈R，a*b=b*a；
（2）對任意a∈R，a*0=a；
（3）對任意a，b，c∈R，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c．
則函數f(x)=x*

x

2

x∈R的單調遞減區間是

 

．

Answer 1

分析：準確理解運算“*”的性質：①滿足交換律，②a*0=a；③，（a*b）*c=c*（ab）+（a*c）+（b*c）-2c，故有：a*b=（a*b）*0=0*（ab）+（a*0）+（b*0）-2×0；代入可得答案．

解答：解：在（3）中，令c=0，則 a*b=ab+a+b?f(x)=x*

x

2

=

x2

2

+

3x

2

，
=

1

2

（x+

3

2

）²-

9

8

，
易知函數f（x）的單調遞減區間為 (-∞，-

3

2

)，
故答案為(-∞，-

3

2

)．

點評：此題是個中檔題．本題是一個新定義運算型問題，考查了函數的單調性等有關性質以及同學們類比運算解決問題的能力．