Question

已知橢圓：，

（1）若橢圓的長軸長為4，離心率為，求橢圓的標準方程；

（2）在（1）的條件下，設過定點的直線與橢圓交于不同的兩點，且為銳角（為坐標原點），求直線的斜率的取值范圍；

（3）過原點任意作兩條互相垂直的直線與橢圓：相交于四點，設原點到四邊形的一邊距離為，試求時滿足的條件.

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）；（3）.

【解析】

試題分析：（1）利用已知條件找出解出、即得；（2）設直線方程，聯立方程組消去得到關于的方程，由求出的范圍；（3）設直線的方程為聯立方程組消去到關于的方程，利用、韋達定理、點到直線的距離公式求解.

試題解析：（1）依題意，，解得，故橢圓的方程為.

（2）如圖，依題意，直線的斜率必存在，

設直線的方程為，，，

聯立方程組，消去整理得，

由韋達定理，，，

,

因為直線與橢圓相交，則，

即，解得或，

當為銳角時，向量，則，

即，解得，

故當為銳角時，.

如圖，

依題意，直線的斜率存在，設其方程為，，，由于，

，即，又，

           ①

聯立方程組，消去得，

由韋達定理得，，代入①得

，

令點到直線的距離為1，則，即，

，

整理得.

考點：橢圓的性質，直線與橢圓的位置關系.