Question

已知橢圓

x 2

a2

+

y2

b2

=1(a＞b＞0)的右焦點(diǎn)為F₁，左焦點(diǎn)為F₂，若橢圓上存在一點(diǎn)P，滿足線段PF₁相切于以橢圓的短軸為直徑的圓，切點(diǎn)為線段PF₁的中點(diǎn)，則該橢圓的離心率為（　　）

• A、

  5

  3

• B、

  2

  3

• C、

  2

  2

• D、

  5

  9

Answer 1

分析：設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF₁相切于點(diǎn)M，連結(jié)OM、PF₂，利用三角形中位線定理與圓的切線的性質(zhì)，證出PF₁⊥PF₂且|PF₂|=2b，然后在Rt△PF₁F₂中利用勾股定理算出|PF₁|=

4c2-4b2

．根據(jù)橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，從而建立關(guān)于a、b、c的等式，解出b=

2

3

a，進(jìn)而可得橢圓的離心率的大小．

解答：解：設(shè)以橢圓的短軸為直徑的圓與線段PF₁相切于點(diǎn)M，連結(jié)OM、PF₂，
∵M(jìn)、O分別為PF₁、F₁F₂的中點(diǎn)，
∴MO∥PF₂，且|PF₂|=2|MO|=2b，
又∵線段PF₁與圓O相切于點(diǎn)M，可得OM⊥PF₁，
∴PF₁⊥PF₂，
Rt△PF₁F₂中，|F₁F₂|=2c，|PF₂|=2b，
∴|PF₁|=

|F 1F2|2-|PF2|2

=

4c2-4b2

，
根據(jù)橢圓的定義，得|PF₁|+|PF₂|=2a，
∴

4c2-4b2

+2b=2a，即

c2-b2

=a-b，
兩邊平方得：c²-b²=（a-b）²，即a²-2b²=（a-b）²，化簡(jiǎn)得2ab-3b²=0，解得b=

2

3

a，
因此，c=

a2-b2

=

5

3

a，可得橢圓的離心率e=

c

a

=

5

3

．
故選：A

點(diǎn)評(píng)：本題給出橢圓上一點(diǎn)與左焦點(diǎn)的連線是以短軸為直徑的圓的切線，求橢圓的離心率．著重考查了三角形的中位線定理、圓的切線的性質(zhì)、橢圓的定義與簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)等知識(shí)，屬于中檔題．