Question

已知函數f（x） 定義在（-1，1）上，f（

1

2

）=1，滿足f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），且數列x₁=

1

2

，x_n+1=

2xn

1+xn2

．
（Ⅰ）證明：f（x）在（-1，1）上為奇函數；
（Ⅱ）求f（x_n）的表達式；
（Ⅲ）若a₁=1，a_n+1=

12n

2n

f（x_n）-a_n，（n∈N₊）．試求a_n．

Answer 1

分析：（Ⅰ） 利用奇函數的定義去證明．
（Ⅱ）利用數列的遞推公式推導．
（Ⅲ）將數列進行等價轉化，轉化為規則數列，然后求通項公式．

解答：解：（Ⅰ）因為f（x）定義在（-1，1）上滿足f（x）-f（y）=f（

x-y

1-xy

），
所以當x=y=0時，可得f（0）=0，當x=0時，f（0）-f（y）=f（-y），
即f（-y）=-f（y），所以f（-x）=-f（x），
即f（x）在（-1，1）上為奇函數．
（Ⅱ）因為f(xn-1)=f(

2xn

1+xn2

)=f(

xn-(-xn)

1-xn?(-xn)

)=f(xn)-f(-xn)=2f(xn)，
所以

f(xn+1)

f(xn)

=2，又f(x1)=f(

1

2

)=1，
所以f（x_n）}為等比數列，其通項公式為f(xn)=f(x1)•2n-1=2n-1．…..（6分）
（3）因為

a

n

+a_n+1=6n，所以a_n+1+a_n+2=6（n+1），兩式相減，得a_n+2-

a

n

=6，
所以{a_2n-1}與{a_2n}均為公差為6 的等差數列，
所以易求得

a

n

=

3n-2(n為奇數) 3n-1(n為偶數)

．…．（12分）

點評：本題考查了抽象函數的應用以及函數奇偶性的證明，以及數列的通項公式，綜合性較強運算量較大．