Question

（本題滿分15分）

   函數，其中。

   （1）若函數在其定義域內是單調函數，求的取值范圍；

   （2）若對定義域內的任意，都有，求的值；

   （3）設，。當時，若存在，

使得，求實數的取值范圍。

 

Answer 1

【答案】

（1）。由題設，在內恒成立，或在內恒成立。

        若，則，即恒成立，顯然在內的最大值為，所以，。

        若，則，顯然該不等式在內不恒成立。

        綜上，所求的取值范圍為。

   （2）由題意，是函數的最小值，也是極小值。因此，，解得。經驗證，符合題意。

   （3）由（1）知，當時，在內單調遞增，從而在上單調遞增，因此，在上的最小值，最大值

        。

        ，由知，當時，，因此，在上單調遞減，在上的最小值，最大值

        ，因，所以。

        ①若，即時，兩函數圖象在上有交點，此時

          顯然滿足題設條件。

        ②若，即時，的圖象在上，的圖象在下，只需，即，即，

          解得。

       綜上，所求實數的取值范圍為。

【解析】略