Question

如圖，為平面，AB=5,A, B在棱l上的射影分別為A′，B′，AA′＝3，BB′＝2. 若二面角的大小為，求：

（Ⅰ）點B到平面的距離;

（Ⅱ）異面直線與AB所成的角（用反三角函數表示）.

Answer 1

解：（Ⅰ）如圖，過點B′C∥A′A且使B′C=A′A.過點B作BD⊥CB′，交CB′的延長線于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，從而BD⊥平面α,BD之長即為點B到平面α的距離.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C為二面角α-l-β的平面角.由題意，∠BB′C=.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=, BD=BB′?sin∠BB′D=.

（Ⅱ）連接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A, AA′⊥l, 知A′ACB′為矩形，

故AC∥l. 所以∠BAC或其補角為異面直線l與AB所成的角.

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，則由余弦定理，

BC=.

因BD平面，且DCCA，由三垂線定理知ACBC.

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.

因此，異面直線l與AB所成的角為arcsin。