Question

（重慶卷文20）如圖（20）圖， 為平面，AB=5,A,B在棱l上的射影分別為A′，B′，AA′＝3，BB′＝2.若二

面角的大小為，求：

（Ⅰ）點B到平面的距離;

（Ⅱ）異面直線l與AB所成的角（用反三角函數表示）.

Answer 1

【解析】本題主要考查立體幾何中的主干知識，如線線角、二面角等基礎知識，考查空間想象能力、邏輯思維能力和運算能力。解題的關鍵是線面平行、三垂線定理等基礎知識，本題屬中等題。

【答案】（1）如答（20）圖，過點B′作直線B′C∥A′A且使B′C=A′A.過點B作BD⊥CB′，交CB′的延長線于D.

由已知AA′⊥l，可得DB′⊥l，又已知BB′⊥l，故l⊥平面BB′D，得BD⊥l又因BD⊥CB′，從而BD⊥平面α,BD之長即為點B到平面α的距離.

因B′C⊥l且BB′⊥l，故∠BB′C為二面角α-l-β的平面角.由題意，∠BB′C=.因此在Rt△BB′D中，BB′=2,∠BB′D=π-∠BB′C=，BD=BB′·sinBB′D=.

（Ⅱ）連接AC、BC.因B′C∥A′A，B′C=A′A，AA′⊥l，知A′ACB′為矩形，故AC∥l.所以∠BAC或其補角為異面直線l與AB所成的角.

在△BB′C中，B′B=2，B′C=3，∠BB′C=，則由余弦定理，

BC=.

因BD平面，且DCCA，由三垂線定理知ACBC.

故在△ABC中，∠BCA=，sinBAC=.

因此，異面直線l與AB所成的角為arcsin