Question

（2013•許昌二模）已知極坐標系的極點與直角坐標系的原點重合，極軸與直角坐標系中x軸的正半軸重合，且兩坐標系有相同的長度單位，圓C的參數方程為

x=1+2cosα y=-1+2sinα

（α為參數），點Q的極坐標為（2

2

，

7

4

π）．
（Ⅰ）化圓C的參數方程為極坐標方程；
（Ⅱ）若直線l過點Q且與圓C交于M，N兩點，求當|MN|最小時，直線l的直角坐標方程．

Answer 1

分析：（I）先消去參數得出圓C的直角坐標方程，再利用x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ．即可得出圓C的極坐標方程；
（II）先將點Q的極坐標化成直角坐標為，得出其在圓C內．從而當l⊥CQ時，|MN|最小，再利用圓心C（1，-1），及垂直關系得出直線l的斜率，從而得到直線L的方程．

解答：解：（I）圓C的直角坐標方程為：x²+y²-2x+2y-2=0．
又x²+y²=ρ²，x=ρcosθ，y=ρsinθ．
∴圓C的極坐標方程可化為：ρ²-2ρcosθ+2ρsinθ-2=0，
（II）∵點Q的極坐標為（2

2

，

7

4

π）．
∴點Q的直角坐標為（2，-2），其在圓C內．
從而當l⊥CQ時，|MN|最小，又圓心C（1，-1），
∴k_CQ=

-2-(-1)

2-1

=-1，
∴k_l=1，
所以直線L的方程為：y+2=x-2．即x-y-4=0．

點評：本題考查極坐標和直角坐標的互化，直線與圓的位置關系，轉化的數學思想的應用，是中檔題．