Question

已知點(diǎn)M是曲線C上任一點(diǎn)，點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1．
（1）求曲線C的方程；
（2）過(guò)點(diǎn)P（0，2）的直線L交曲線C于A、B兩點(diǎn)，若以AB為直徑的圓經(jīng)過(guò)原點(diǎn)O，求直線L的方程．

Answer 1

（1）∵點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離比到y(tǒng)軸的距離多1，
∴點(diǎn)M到點(diǎn)F（1，0）的距離等于到直線x=-1的距離，
∴點(diǎn)M的軌跡是以F（1，0）為焦點(diǎn)，直線x=-1為準(zhǔn)線的拋物線，
∴曲線C的方程為：y²=4x．
（2）設(shè)直線l的方程為y=kx+2（k≠0），
A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），
由

y2=4x y=kx+2

，消去x得：ky²-4y+8=0，
則△=16-32k＞0，解得k＜

1

2

，
∴y₁y₂=

8

k

，x₁x₂=

y12

4

•

y22

4

=

4

k2

，
∴以AB為直徑的圓過(guò)原點(diǎn)O，
∴

OA

•

OB

=x₁x₂+y₁y₂=0，
∴

4

k2

+

8

k

=0，解得k=-

1

2

，
∴直線l的方程為y=-

1

2

x+2．