Question

已知函數的圖像是自原點出發的一條折線，當時，該圖像是斜率為的線段（其中正常數），設數列由定義.
Ⅰ.求、和的表達式；
Ⅱ.求的表達式，并寫出其定義域；
Ⅲ.證明：的圖像與的圖像沒有橫坐標大于1的交點.

Answer 1

答案見解析

Ⅰ.解：依題意，又由，當時，函數的圖像是斜率為的線段，故由，得
又由，當時，函數的圖像是斜率為的線段，故由，即得 
記由函數圖像中第段線段的斜率為，故得
又；所以
由此知數列為等比數列，其首項為1，公比為因得
即 
Ⅱ. 解：當，從Ⅰ可知當時，
當時，即當時，由Ⅰ可知

為求函數的定義域，須對進行討論.
當時，；
當時，也趨向于無窮大.
綜上，當時，的定義域為；
當時，的定義域為.
Ⅲ. 證法一：首先證明當，時，恒有成立.
用數學歸納法證明：
（ⅰ）由Ⅱ知當時,在上,
所以成立
（ⅱ）假設時在上恒有成立.
可得
在上,
所以
也成立.
由(ⅰ)與(ⅱ)知,對所有自然數在上都有成立.
即 時,恒有.
其次，當,仿上述證明,可知當時,恒有成立.
故函數的圖像與的圖像沒有橫坐標大于1的交點.
證法二:首先證明當,時,恒有成立.
對任意的存在,使，此時有

所以
又所以，
所以，即有成立.
其次，當，仿上述證明，可知當時，恒有成立.
故函數的圖像與的圖像沒有橫坐標大于1的交點.