Question

已知二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），又f（0）=3，f（2）=1．
（1）求函數f（x）的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，求m的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）由題意，二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），對稱軸是x=2，可設二次函數為y=a（x-2）²+b，又f（0）=3，f（2）=1，由此得到關于兩個參數a，b的方程組，解出a，b的值，求得二次函數的解析式；
（2）若f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，求出1，3對應的自變量，再由二次函數的性質判斷出參數的取值范圍

解答：解：∵二次函數f（x）滿足f（2+x）=f（2-x），
∴其對稱軸是x=2，可設其方程為y=a（x-2）²+b
∵f（0）=3，f（2）=1
∴

4a+b=3 b=1

解得a=

1

2

，b=1
函數f（x）的解析式是y=

1

2

（x-2）²+1
（2）∵f（0）=3，f（2）=1，f（x）在[0，m]上的最大值為3，最小值為1，
∴m≥2
又f（4）=3，由二次函數的性質知，m≤4
綜上得2≤m≤4
答：函數f（x）的解析式是y=

1

2

（x-2）²+1；2≤m≤4

點評：本題考查二次函數的在閉區間上的最值，解題的關鍵是用待定系數法求出函數的解析式，及熟練掌握二次函數的性質，判斷出參數的取值范圍，本題是二次函數考查的典型題．