Question

如圖2-1-10,以AB為直徑的半圓上任取兩點M和C,過點M作MN⊥AB,交AC延長線于E,交BC于F.求證:MN是NF和NE的比例中項.

圖2-1-10

Answer 1

思路解析:題目即證MN²=NF·NE,連結AM、BM,從而構造出Rt△AMB,但MN、NE、NF共線,無法由相似三角形直接證得,因此要考慮用等積式或等比式過渡.注意到MN⊥AB,∴MN²=AN·BN,下面只需證AN·BN =NE·NF,這可以由△AEN與△BFN相似證得.

證明:連結AM、BM,∵AB為直徑,

∴∠AMB =90°.?

又MN⊥AB,∴△AMN∽△MBN.?

∴MN²=AN·BN.?

又FN⊥AB,∴∠E +∠EAB =90°.?

∴∠E =∠ABC.?

又∠ENA =∠FNB =90°,?

∴△AEN∽△FBN.∴=,?

即AN·BN =NE·NF.∴MN² =NE·NF,?

即MN為NE和NF的比例中項.