Question

在數列{a_n}中，a₁=a₂=1，a_n+1+（n-1）a_n-1=（n+1）a_n，n=2，3，4，…．關于數列{a_n}給出下列四個結論：
①數列{a_n+1-na_n}是常數列；                   
②對于任意正整數n，有a_n≤a_n+1成立；
③數列{a_n}中的任意連續3項都不會成等比數列；   
④

n

k=1

ak

ak+2

=

n

n+1

．
其中全部正確結論的序號是

①②③④

．

Answer 1

分析：①由a_n+1+（n-1）a_n-1=（n+1）a_n，可得（a_n+1-na_n）-[a_n-（n-1）a_n-1]=0，從而可知數列{a_n+1-na_n}是常數列；                   
②由①知，a_n+1-na_n=0，從而可得

an+1

an

=n，故對于任意正整數n，有a_n≤a_n+1成立；
③由②知，數列{a_n}中的任意連續3項都不會成等比數列；   
④確定

an

an+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，利用裂項法，可求和．

解答：解：①∵a_n+1+（n-1）a_n-1=（n+1）a_n，
∴（a_n+1-na_n）-[a_n-（n-1）a_n-1]=0
∵a₁=a₂=1，∴a₂-a₁=0，
∴數列{a_n+1-na_n}是常數列；                   
②由①知，a_n+1-na_n=0，∴

an+1

an

=n，∴對于任意正整數n，有a_n≤a_n+1成立；
③由②知，數列{a_n}中的任意連續3項都不會成等比數列；   
④∵

an+1

an

=n，

an+2

an+1

=n+1，∴

an

an+2

=

1

n(n+1)

=

1

n

-

1

n+1

，
∴

n

k=1

ak

ak+2

=1-

1

2

+

1

2

-

1

3

+…+

1

n

-

1

n+1

=

n

n+1

．
綜上，正確結論的序號是①②③④
故答案為①②③④

點評：本題考查數列遞推式，考查裂項法求數列的和，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．