Question

已知向量

OP

=(x，y)，當實數x，y滿足約束條件：

y≤0 y≥x 2x+y+k≥0

（k為常數）時，能使|

OP

|max=5的k值為

10

．

Answer 1

分析：作出題中不等式組表示的平面區域，得到如圖所示的△OAB及其內部，根據向量模的公式算出

|OA|

=|

k

2

|，

|OB|

=

2

3

|k|，可得

|OA|

＞

|OB|

．運動區域內的點P，當P與點A重合時|

OP

| 達到最大值，由此建立關于k的等式，解之即可得到滿足條件的k值．

解答：解：根據題意，作出不等式組

y≤0 y≥x 2x+y+k≥0

所表示的平面區域，
得到如圖所示的△OAB及其內部，其中A（-

k

2

，0），B（-

k

3

，-

k

3

）
∵

|OA|

=

(- k 2 )2+02

=|

k

2

|，

|OB|

=

(- k 3 )2+(- k 3 )2

=

2

3

|k|，（k≠0）
∴

|OA|

＞

|OB|

，點P（x，y）為區域內部一個動點，運動點P可得當P與點A重合時，|

OP

| 達到最大值，
因此，若|

OP

|max=5，則|

OP

| =

|OA|

=|

k

2

|=5，解之得k=±10．
∵△OAB在第三象限，可得k＞0，∴k=10
故答案為：10

點評：本題給出二元一次不等式組，求滿足條件“|

OP

|max=5”的k值．著重考查了向量模的公式、二元一次不等式組表示的平面區域和簡單的線性規劃等知識，屬于中檔題．