Question

2．在直角坐標系xOy中，曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（θ為參數，r為大于零的常數），以坐標原點為極點，x軸的非負半軸為極軸建立坐標系，曲線C₂的極坐標方程為ρ²-8ρsinθ+15=0．
（Ⅰ）若曲線C₁與C₂有公共點，求r的取值范圍；
（Ⅱ）若r=1，過曲線上C₁任意一點P作曲線C₂的切線，切于點Q，求|PQ|的最大值．

Answer 1

分析 （Ⅰ）曲線C₁消去參數r，求出曲線C₁的直角坐標方程，由曲線C₂的極坐標方程求出曲線C₂的直角坐標方程，若C₁與C₂有公共點，則r-1≤|C₁C₂|≤r+1，由此能求出r的取值范圍．
（Ⅱ）設P（cosα，sinα），由|PQ|²=|PC₂|²-|C₂Q|²=|PC₂|²-1，得|PQ|²=cos²α+（sinα-4）²-1=16-8sinα≤16+8=24，由此能求出|PQ|的最大值．

解答 解：（Ⅰ）∵曲線C₁：$\left\{\begin{array}{l}{x=rcosθ}\\{y=rsinθ}\end{array}\right.$（θ為參數，r為大于零的常數），
∴消去參數r，得曲線C₁的直角坐標方程為x²+y²=r²（r＞0），
∵曲線C₂的極坐標方程為ρ²-8ρsinθ+15=0，
∴曲線C₂的直角坐標方程為x²+（y-4）²=1．
若C₁與C₂有公共點，則r-1≤$\sqrt{（0-0）^{2}+（4-0）^{2}}$≤r+1，
解得3≤r≤5，故r的取值范圍是[3，5]．
（Ⅱ）設P（cosα，sinα），由|PQ|²=|PC₂|²-|C₂Q|²=|PC₂|²-1，
得|PQ|²=cos²α+（sinα-4）²-1=16-8sinα≤16+8=24，
當且僅當sinα=-1時取最大值，故|PQ|的最大值為2$\sqrt{6}$．

點評 本題考查考查直角坐標方程、極坐標方程、參數方程的互化、兩圓相交、兩點間距離公式等基礎知識，考查推理論證能力、運算求解能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．