Question

定義在R上的偶函數f（x）滿足f（x）=f（x+4），當x∈[6，8]時，f（x）=cos（x-6）
（1）求x∈[-2，2]時，f（x）的表達式；
（2）若，求θ的取值范圍．

Answer 1

解：（1）設x∈[-2，0]，則x+8∈[6，8]，
∴f（x+8）=cos（x+2）
∵f（x）=f（x+4），
∴f（x+8）=f（x+4）=f（x）
∴x∈[-2，0]時，f（x）=cos（x+2）
設x∈（0，2]，則-x∈[-2，0），
∴f（-x）=cos（-x+2）
∵f（x）為偶函數，
∴f（-x）=f（x）
∴x∈（0，2]時，f（x）=cos（-x+2）
∴f（x）=
（2）∵-2＜sinθ+cosθ＜2，
且由（1）知f（x）在[-2，0）上為增函數，在（0，2）上為減函數，函數圖象關于y軸對稱
∴
?|sinθ+cosθ|＜||
?（sinθ+cosθ）²＜1+2sin²θ
?1+sin2θ＜1+1-cos2θ
?sin2θ+cos2θ＜1
?sin（2θ+）＜1
?sin（2θ+）＜
∴-+2kπ＜2θ+＜2kπ+ （k∈Z）
∴-+kπ＜θ＜kπ （k∈Z）
分析：（1）先利用函數的周期性求出x∈[-2，0]時函數的解析式，再利用函數的奇偶性求出函數x∈（0，2]時的解析式，即可得函數f（x）在[-2，2]上的解析式；
（2）利用函數的對稱性和單調性，發現此函數在[-2，2]上自變量的絕對值越小函數值越大，故將不等式轉化為絕對值三角不等式，即可解得θ的范圍．
點評：本題考查了利用函數的周期性和對稱性求函數解析式的方法，綜合利用單調性和奇偶性解不等式的方法，三角不等式的解法，轉化化歸的思想方法