Question

在平面內，三角形的面積為S，周長為C，則它的內切圓的半徑γ=

2S

C

．在空間中，三棱錐的體積為V，表面積為S，利用類比推理的方法，可得三棱錐的內切球（球面與三棱錐的各個面均相切）的半徑R=

 

．

Answer 1

分析：類比推理的一般步驟是：（1）找出兩類事物之間的相似性或一致性；（2）用一類事物的性質去推測另一類事物的性質，得出一個明確的命題（猜想）．常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．但由于類比推理的結果不一定正確，故我們還需要進一步的證明．

解答：解：結論：若三棱錐表面積為S，體積為V，則其內切球半徑r=

3V

S

”證明如下：
設三棱錐的四個面積分別為：S₁，S₂，S₃，S₄，
由于內切球到各面的距離等于內切球的半徑
∴V=

1

3

S₁×r+

1

3

S₂×r+

1

3

S₃×r+

1

3

S₄×r=

1

3

S×r
∴內切球半徑r=

3V

S

故答案為：

3V

S

．

點評：本題考查的知識點是類比推理、棱錐的結構特征，在由平面圖形的性質向空間物體的性質進行類比時，常用的思路有：由平面圖形中點的性質類比推理出空間里的線的性質，由平面圖形中線的性質類比推理出空間中面的性質，由平面圖形中面的性質類比推理出空間中體的性質．