Question

直線過拋物線的焦點，并且與拋物線相交于和兩點.求證：對于此拋物線的任意給定的一條弦，直線不是的垂直平分線.用反證法證明.

Answer 1

證明見解析

證明：假設直線是的垂直平分線，設的斜率為，則的方程是．
設直線與軸的交點坐標為，則的方程是．
設的坐標分別為，則的中點坐標是．
可知，是方程組的兩組解．
方程組消去，得．　　　①
顯然，，方程①有兩個不等的實數根，故，
于是有，．
但的中點坐標滿足方程，
，
即，
．
因此有，
這與①式中矛盾，原假定不成立．
所以，直線不是的垂直平分線．