Question

點(diǎn)P在直徑為5的球面上，過P作兩兩垂直的3條弦，設(shè)長(zhǎng)度分別為a、b、c．若這三條弦總長(zhǎng)為6，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，這三條弦為側(cè)棱的三棱錐的體積為

1

3

，則

1

a

+

1

b

+

1

c

=（　�。�

• A．

  2

  11

• B．

  11

  2

• C．

  4

  11

• D．

  11

  4

Answer 1

分析：由點(diǎn)P在直徑為5的球面上，過P作兩兩垂直的3條弦，推出這三條弦為側(cè)棱的三棱錐是長(zhǎng)方體的一個(gè)角的三棱錐，A-BCD，如圖，三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它們的外接球是一個(gè)，通過已知的數(shù)據(jù)關(guān)系，列出方程組，求出a，b，c即可確定

1

a

+

1

b

+

1

c

的值．

解答：解：由題意可知：三條弦為側(cè)棱的三棱錐是長(zhǎng)方體的一個(gè)角的三棱錐，如圖三棱錐A-BCD，擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，它們的外接球是一個(gè)，長(zhǎng)方體的體對(duì)角線就是外接球的直徑，因?yàn)辄c(diǎn)P在直徑為5的球面上，過P作兩兩垂直的3條弦，
設(shè)長(zhǎng)度分別為a、b、c．若這三條弦總長(zhǎng)為6，以點(diǎn)P為頂點(diǎn)，這三條弦為側(cè)棱的三棱錐的體積為

1

3

，
所以

a+b+c=6       a2+b2+c2=25 1 3 × 1 2 abc= 1 3

，即

a+b+c=6       …① a2+b2+c2=25 …② abc=2…③

①²-②2ab+2bc+2ac=11…④，
由

④

③

得

2ab+2bc+2ac

abc

=

11

2

，所以

1

a

+

1

b

+

1

c

=

11

4

．
故選D．

點(diǎn)評(píng)：本題考查幾何體的外接球的理解，能夠把三棱錐擴(kuò)展為長(zhǎng)方體，外接球相同是解題的關(guān)鍵，考查計(jì)算能力整體思想的應(yīng)用．