Question

點P在直徑為5的球面上，過P作兩兩垂直的3條弦，設長度分別為a、b、c．若這三條弦總長為6，以點P為頂點，這三條弦為側棱的三棱錐的體積為，則=

1. A.
   
2. B.
   
3. C.
   
4. D.
   

Answer 1

D
分析：由點P在直徑為5的球面上，過P作兩兩垂直的3條弦，推出這三條弦為側棱的三棱錐是長方體的一個角的三棱錐，A-BCD，如圖，三棱錐擴展為長方體，它們的外接球是一個，通過已知的數據關系，列出方程組，求出a，b，c即可確定的值．
解答：由題意可知：三條弦為側棱的三棱錐是長方體的一個角的三棱錐，如圖三棱錐A-BCD，擴展為長方體，它們的外接球是一個，長方體的體對角線就是外接球的直徑，因為點P在直徑為5的球面上，過P作兩兩垂直的3條弦，
設長度分別為a、b、c．若這三條弦總長為6，以點P為頂點，這三條弦為側棱的三棱錐的體積為，
所以，即
①²-②2ab+2bc+2ac=11…④，
由得，所以=．
故選D．
點評：本題考查幾何體的外接球的理解，能夠把三棱錐擴展為長方體，外接球相同是解題的關鍵，考查計算能力整體思想的應用．