Question

已知函數，設

（Ⅰ）求函數的單調區間

（Ⅱ）若以函數圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的最小值

（Ⅲ）是否存在實數，使得函數的圖象與函數的圖象恰有四個不同交點？若存在，求出實數的取值范圍；若不存在，說明理由。

 

Answer 1

【答案】

(Ⅰ) 的單調遞減區間為，單調遞增區間為；（Ⅱ）實數的最小值；（Ⅲ）當時，的圖像與的圖像恰有四個不同交點．

【解析】

試題分析：（I）求函數的單調區間，首先求出的解析式，得，求函數的單調區間，可用定義，也可用導數法，由于本題含有對數函數，可通過求導來求，對求導得，分別求出與的范圍，從而求出的單調區間；（II）若以函數圖象上任意一點為切點的切線的斜率恒成立，求實數的最小值，可利用導數的幾何意義表示出切線的斜率，根據恒成立，將分離出來得，即大于等于的最大值即可，這樣求出的范圍，從而得到的最小值；（III）函數的圖象與的圖象有四個不同的交點，即方程有四個不同的根，分離出后，轉化成新函數的極大值和極小值問題，利用圖像即可求出實數的取值范圍．

試題解析：（Ⅰ）F(x)=f(x)+g(x)=lnx+(x>0), == 

∵a>0,由F^F'(x)>0Þx∈(a,+∞),∴F(x)在(a,+∞)上是增函數.

由F^F'(x)<0Þx∈(0,a),∴F(x)在(0,a)上是減函數.

∴F(x)的單調遞減區間為(0,a)，單調遞增區間為(a,+∞).

（Ⅱ）由F^F'(x)= （0<x≤3）得

k= F^F'(x₀)= ≤（0<x₀≤3）恒成立Ûa≥-x₀²+x₀恒成立.

∵當x₀=1時，-x₀²+x₀取得最大值

∴a≥,a的最小值為.

（Ⅲ）若y=g()+m-1=x²+m-的圖像與y=f(1+x²)=ln(x²+1)的圖像恰有四個不同交點，即x²+m-=ln(x²+1)有四個不同的根，亦即m=ln(x²+1)-x²+有四個不同的根.令= ln(x²+1)-x²+.

則G^F'(x)=-x==

當x變化時G^F'(x)、G（x）的變化情況如下表：

	（-¥，-1）	（-1,0）	（0,1）	（1，+¥）
GF'(x)的符號	+	-	+	-
G（x）的單調性	↗	↘	↗	↘

由上表知：G（x）_極小值=G（0）=, G（x）_極大值=G（-1）=G(1)=ln2>0

畫出草圖和驗證G(2)=G(-2)=ln5-2+<可知，當m∈(,ln2)時，y=G(x)與y=m恰有四個不同交點.

∴當m∈(,ln2)時，y=g()+m-1=x²+m-的圖像與y=f(1+x²)=ln(x²+1)的圖像恰有四個不同交點.

考點：利用導數研究曲線上某點切線方程；利用導數研究函數的單調性；利用導數求閉區間上函數的最值．