Question

（2009•越秀區模擬）已知{a_n}是公差不為0的等差數列，它的前9項和S₉=90，且a₂，a₄，a₈成等比數列．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）若數列{a_n}和{b_n}滿足等式：an=

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn

3n

（n為正整數），求數列{b_n}的前n項和T_n．

Answer 1

分析：（1）通過數列前9項和S₉=90，且a₂，a₄，a₈成等比數列．列出方程組，求出數列的首項與公差，即可求數列{a_n}的通項公式；
（2）利用an=

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn

3n

，寫出n+1的表達式，求出b_n的通項公式，判斷數列是等比數列，然后求出前n項和T_n．

解答：解：（1）設a_n=a₁+（n-1）d   d≠0，則

9a1+ 9×8 2 d=90 (a1+d)(a1+7d)=  (a1+3d)2

即

a1+4d=10 a1=d

，解得a₁=2，d=2．
所以a_n=2+（n-1）×2=2n．
（2）解：由（1）得，

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn

3n

=2n ①，
當n≥2時，

b1

3

+

b2

32

+

b3

33

+…+

bn-1

3n-1

=2(n-1) ②，
由①-②得，

bn

3n

=2，所以b_n=2•3ⁿ．n≥2．
當n=1時，b₁=3a₁=6也適合上式，所以b_n=2•3ⁿ．n為正整數．
因為

bn+1

bn

=

2•3n+1

2•3n

=3，所以{b_n}是首項為b₁=6，公比為3的等比數列，
所以T_n=b₁+b₂+…+b_n=

6(1-3n)

1-3

=3ⁿ⁺¹-3．

點評：本題考查數列通項公式的求法，數列是等比數列的判斷，數列前n項和的求法，考查計算能力，注意驗證數列的首項是否滿足題意．