Question

在△ABC中，內(nèi)角A、B、C對邊的邊長分別是a、b、c，已知c=2，C=

π

3

，若sinB=2sinA，求a、b、A、B及△ABC的面積．

Answer 1

分析：由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

=2R，可將已知sinB=2sinA轉(zhuǎn)化為b=2a，再利用余弦定理c²=a²+b²-2abcosC可求得a、b、A、B，繼而可求△ABC的面積．

解答：解：∵在△ABC中，sinB=2sinA，
∴由正弦定理

a

sinA

=

b

sinB

得：

sinB

sinA

=

b

a

=2，
∴b=2a；
又c=2，C=

π

3

，
∴由余弦定理c²=a²+b²-2abcosC得：
4=a²+4a²-2a•（2a）cos

π

3

=5a²-2a²=3a²，
∴a=

2

3

=

2 3

3

；
∴b=

4 3

3

；
由正弦定理

a

sinA

=

c

sinC

得：sinA=

asinC

c

=

2 3 3 × 3 2

2

=

1

2

，a＜b，
∴A=

π

6

，B=π-

π

6

-

π

3

=

π

2

；
∴S_△ABC=

1

2

absinC=

1

2

×

2 3

3

×

4 3

3

×

3

2

=

2 3

3

．

點評：本題考查正弦定理與余弦定理的應(yīng)用，求得a是關(guān)鍵，考查分析、轉(zhuǎn)化與運算能力，屬于中檔題．