Question

已知函數y=a^x+2-2（a＞0，a≠1）過定點A（x，y），且點A（x，y）滿足方程mx+ny+2=0（m＞0，n＞0），則

1

m

+

2

n

的最小值為

4

．

Answer 1

分析：最值問題經常利用均值不等式求解，適時應用“1”的代換是解本題的關鍵．函數y=a^x+2-2（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點A，知A（-2，-1），點A在直線mx+ny+2=0上，得m+n=1又mn＞0，∴m＞0，n＞0，用1的變換構造出可以用基本不等式來求最值．

解答：解：由已知定點A坐標為（-2，-1），由點A在直線mx+ny+2=0上，
∴-2m-n+2=0，即m+

1

2

n=1，
又mn＞0，∴m＞0，n＞0，
∴

1

m

+

2

n

=(

1

m

+

2

n

)(m+

1

2

n)=

m+ 1 2 n

m

+

2m+n

n

=2+

1 2 n

m

+

2m

n

≥2+2•

1 2 n m • 2m n

=4，
當且僅當m=

1

2

，n=1時取等號．
故答案為4．

點評：當均值不等式中等號不成立時，常利用函數單調性求最值．也可將已知條件適當變形，再利用均值不等式，使得等號成立．均值不等式是不等式問題中的確重要公式，應用十分廣泛．在應用過程中，學生常忽視“等號成立條件”，特別是對“一正、二定、三相等”這一原則應有很好的掌握．