Question

已知定義域為R的函數f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函數
（1）求b的值；
（2）試討論函數f（x）的單調性；
（3）若對?t∈R，不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0恒成立，求k的取值范圍．

Answer 1

分析：（1）根據定義域為R的奇函數圖象必要原點，將（0，0）代入可得b值；
（2）根據指數函數的單調性，利用分析法，可求出函數f（x）的單調性；
（3）根據（1）（2）的結論，我們可將不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0恒成立，轉化為k＞2t-t²=-（t-1）²+1在R上恒成立，利用二次函數的性質求出函數的最值，可得k的取值范圍．

解答：解：（1）∵定義域為R的函數f(x)=

b-2x

1+2x

是奇函數
∴f（0）=0
即b=1
（2）f(x)=

1-2x

1+2x

=-1+

2

1+2x

，
因為1+2^x隨x的增大而增大，
所以f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是減函數．
（3）因為f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是奇函數
∴不等式f（t-t²）+f（t-k）＞0可化為
f（t-t²）＞f（k-t）
又∵f(x)=-1+

2

1+2x

在R上是減函數
t-t²＜k-t
即k＞2t-t²=-（t-1）²+1在R上恒成立，
∴k＞1

點評：本題是函數奇偶性與單調性的綜合應用其中根據函數的奇偶性和單調性將不等式進行轉化是解答的關鍵．