Question

如圖，在三棱錐中，已知△是正三角形，平面，，為的中點，在棱上，且，

（1）求證：平面；

（2）求平面與平面所成的銳二面角的余弦值；

（3）若為的中點，問上是否存在一點，使平面？若存在，說明點的位置；若不存在，試說明理由．

 

 

Answer 1

【答案】

略

【解析】解一：（1）取AC的中點H，因為 AB＝BC，所以 BH⊥AC．

因為 AF＝3FC，所以 F為CH的中點．

因為 E為BC的中點，所以 EF∥BH．則EF⊥AC．

因為 △BCD是正三角形，所以 DE⊥BC．

因為 AB⊥平面BCD，所以 AB⊥DE．

因為 AB∩BC＝B，所以 DE⊥平面ABC．所以 DE⊥AC．

因為 DE∩EF＝E，所以 AC⊥平面DEF

（2）

（3）存在這樣的點N，

當CN＝時，MN∥平面DEF．

連CM，設CM∩DE＝O，連OF．

由條件知，O為△BCD的重心，CO＝CM．

所以 當CF＝CN時，MN∥OF．所以 CN＝

解二：建立直角坐標系