Question

【題目】在四棱錐中，側面PAD是等邊三角形，且平面平面ABCD，，.

（1）AD上是否存在一點M，使得平面平面ABCD；若存在，請證明，若不存在，請說明理由；

（2）若的面積為，求四棱錐的體積.

Answer 1

【答案】(1) 存在一點M為中點，使得平面平面ABCD，證明見詳解；(2).

【解析】

（1）取中點為，根據平面，由線面垂直推證面面垂直即可；

（2）根據的面積求得各棱長度，即可由體積公式求得結果.

（1）存在點為中點，使得平面平面ABCD，證明如下：

取中點為，連接，如下圖所示：

因為為等邊三角形，為中點，

故可得；

又因為平面平面ABCD，且交線為，

又因為平面，，

故可得平面，又平面，

故可得平面平面，即證.

（2）不妨設，

故可得，

由（1）可知為直角三角形，

且，，

故可得；

在中，因為，

則，則，

故可得其面積，

解得；

故可得

又由（1）可知，平面，

故.

故四棱錐的體積為.