Question

已知：如圖，在四棱錐P﹣ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AB=1，BC=2．
（Ⅰ）求證：平面PDC⊥平面PAD；
（Ⅱ）若E是PD的中點，求異面直線AE與PC所成角的余弦值；
（Ⅲ）在BC邊上是否存在一點G，使得D點到平面PAG的距離為1？若存在，求出BG的值；若不存在，請說明理由．

Answer 1

（Ⅰ）證明：∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥CD．
∵四邊形ABCD是矩形，
∴AD⊥CD．
又PA∩AD=A
∴CD⊥平面PAD．
又∵CD平面PDC，
∴平面PDC⊥平面PAD．
（Ⅱ）解：設CD的中點為F，連接EF、AF．
∵E是PD中點，
∴EF∥PC．
∴∠AEF是異面直線AE與PC所成角或其補角．
由PA=AB=1，BC=2，計算得
，，，
，
∴異面直線AE與PC所成角的余弦值為．
（Ⅲ）解：假設在BC邊上存在點G，使得點D到平面PAG的距離為1．
設BG=x，過點D作DM⊥AG于M．
∵PA⊥平面ABCD，
∴PA⊥DM，PA∩AG=A．
∴DM⊥平面PAG．
∴線段DM的長是點D到平面PAG的距離，即DM=1．
又，解得．
所以，存在點G且當時，使得點D到平面PAG的距離為1．